Dr.Godfried-Willem RAES
Kursus Experimentele Muziek: Boekdeel 1: Algoritmische kompositie
Hogeschool Gent : Departement Muziek & Drama
| <Terug naar inhoudstafel kursus> | Noot: de inhoud van deze paragraaf behoort tevens tot de leerstof voor het vak akoestiek. |
'Real World' stemmingen en temperamenten
In de vorige paragraaf toonden en bespraken we de fundamenten van niet gelijkzwevende stemmingen. We noemden ze Platonisch. Bij zulke stemmingen wordt steeds uitgegaan van een uitsluitend op een ideele werkelijkheid (een geloof) gesteund rekensysteem waarbinnen geen rekening gehouden wordt met de wetten van de fysika. Platonische in algemene , of pythagoreische in specifieke zin toonsystemen kunnen alleen enige betekenis hebben in een volstrekt 1-dimensioneel model van de werkelijkheid.. Ze zijn alleen denkbaar voor snaren zonder dikte noch massa, voor luchtkolommen zonder diameter en lucht zonder molekulen...
Geen enkel in de werkelijkheid bestaand objekt kan trillen en een boventoonreeks produceren die zich als een reeks gehele getallen verhoudt tot de grondtoon. Om die reden heeft ook geen enkele van de op konservatoria onderwezen 'harmonieleer'-varianten ook maar de geringste aanspraak op een fundament in de werkelijkheid noch in de fysika noch in de wetenschap in het algemeen. Ze is hooguit een deel van de theologie.
De trilling van een snaar van vlees-en-bloed kan alleen met een vierde graads differentiaal vergelijking benaderend worden beschreven. Het waarom daarvan behandelen we in onze kursus akoestiek. Deze feitelijkheid heeft natuurlijk enorme konsekwenties voor wie zich op spektra wil beroepen om een toonsysteem op te bouwen of te funderen.
Wanneer we de werkelijke spektrale reeks voor een werkelijke snaar berekenen zonder onverantwoord vergaande simplifikaties, dan blijkt dat spektrum niet alleen een funktie te zijn van de snaardikte, maar al evenzeer van de frekwentie zelf waarop die snaar gestemd wordt. De konsekwentie daarvan is dat het spektrum van elke snaar van een piano, bij wijze van voorbeeld, verschillend is. Bovendien blijkt dat het spektrum van een en dezelfde snaar veranderd naarmate we die snaar op een andere toon stemmen.
We voerden de berekening van de boventonen in het spektrum bij wijze van voorbeeld uit voor een nietomwikkelde piano snaar gestemd op Do (36). Ook nu nog maakten we enkele vereenvoudigingen:
Wiskundig sluitende modellen voor het geheel van bovenstaande parameters bestaan
voorzover wij weten, tot op heden niet. Wel weten we dat op grond van de vele
vrijheidsgraden en parameters, we te maken zouden krijgen met een ingewikkeld
stelsel van hogere orde differentiaalvergelijkingen. Om die reden kunnen er
dan ook geen synthesizers bestaan die een 'goed' pianogeluid (niet van 'echt'
te onderscheiden, bedoelen we dan) voortbrengen. De betere synthesizers proberen
zelfs niet te 'synthesizen' maar maken gebruik van een sample-bank en reproduceren
dus in werkelijkheid het geluid van echte opgenomen pianoklanken.
Parameters voor de volgende berekening:
Basisfrekwentie f(o):= 65.4064 Hz = Fractional note: 36
Berekend voor een snaarfaktor B = 3.333333E-4 (geldig voor de korresponderende snaar van een buffetpiano of kleine vleugel).
Formule: f(n) = n .f(0). SQR( 1 + B.n^2) , voor n >=1, in gehele getallen
Voor een snaar met dikte 0 is B=0 en krijgen we de hiervoor behandelde 'platonische' boventoonreeks.
B = E.mu.(Pi.r)^2 / (4.p.T.(L^2)) waarin
Boventoon-nummer , reele toonhoogte, 'platonische' toonhoogte, vershil in cent, verschil in Hz
Partial nr.: 1 real partial note: 36 Platonic Harmonic: 36 Dif= 0 cents Dif= .01 Hz Partial nr.: 2 real partial note: 48.01 Platonic Harmonic: 48 Dif= 1 cents Dif= .09 Hz Partial nr.: 3 real partial note: 55.05 Platonic Harmonic: 55.02 Dif= 3 cents Dif= .29 Hz Partial nr.: 4 real partial note: 60.05 Platonic Harmonic: 60 Dif= 5 cents Dif= .7 Hz Partial nr.: 5 real partial note: 63.93 Platonic Harmonic: 63.86 Dif= 7 cents Dif= 1.36 Hz Partial nr.: 6 real partial note: 67.12 Platonic Harmonic: 67.02 Dif= 10 cents Dif= 2.35 Hz Partial nr.: 7 real partial note: 69.83 Platonic Harmonic: 69.69 Dif= 14 cents Dif= 3.72 Hz Partial nr.: 8 real partial note: 72.18 Platonic Harmonic: 72 Dif= 18 cents Dif= 5.55 Hz Partial nr.: 9 real partial note: 74.27 Platonic Harmonic: 74.04 Dif= 23 cents Dif= 7.89 Hz Partial nr.: 10 real partial note: 76.15 Platonic Harmonic: 75.86 Dif= 28 cents Dif= 10.81 Hz Partial nr.: 11 real partial note: 77.86 Platonic Harmonic: 77.51 Dif= 34 cents Dif= 14.37 Hz Partial nr.: 12 real partial note: 79.43 Platonic Harmonic: 79.02 Dif= 41 cents Dif= 18.62 Hz Partial nr.: 13 real partial note: 80.88 Platonic Harmonic: 80.41 Dif= 47 cents Dif= 23.62 Hz Partial nr.: 14 real partial note: 82.24 Platonic Harmonic: 81.69 Dif= 55 cents Dif= 29.44 Hz Partial nr.: 15 real partial note: 83.51 Platonic Harmonic: 82.88 Dif= 63 cents Dif= 36.13 Hz Partial nr.: 16 real partial note: 84.71 Platonic Harmonic: 84 Dif= 71 cents Dif= 43.74 Hz Partial nr.: 17 real partial note: 85.85 Platonic Harmonic: 85.05 Dif= 80 cents Dif= 52.33 Hz Partial nr.: 18 real partial note: 86.93 Platonic Harmonic: 86.04 Dif= 89 cents Dif= 61.95 Hz Partial nr.: 19 real partial note: 87.96 Platonic Harmonic: 86.98 Dif= 98 cents Dif= 72.65 Hz Partial nr.: 20 real partial note: 88.95 Platonic Harmonic: 87.86 Dif= 108 cents Dif= 84.48 Hz Partial nr.: 21 real partial note: 89.9 Platonic Harmonic: 88.71 Dif= 119 cents Dif= 97.49 Hz Partial nr.: 22 real partial note: 90.81 Platonic Harmonic: 89.51 Dif= 129 cents Dif= 111.74 Hz Partial nr.: 23 real partial note: 91.69 Platonic Harmonic: 90.28 Dif= 141 cents Dif= 127.25 Hz Partial nr.: 24 real partial note: 92.54 Platonic Harmonic: 91.02 Dif= 152 cents Dif= 144.08 Hz Partial nr.: 25 real partial note: 93.36 Platonic Harmonic: 91.73 Dif= 164 cents Dif= 162.28 Hz Partial nr.: 26 real partial note: 94.16 Platonic Harmonic: 92.41 Dif= 176 cents Dif= 181.87 Hz Partial nr.: 27 real partial note: 94.94 Platonic Harmonic: 93.06 Dif= 188 cents Dif= 202.91 Hz Partial nr.: 28 real partial note: 95.7 Platonic Harmonic: 93.69 Dif= 201 cents Dif= 225.43 Hz Partial nr.: 29 real partial note: 96.43 Platonic Harmonic: 94.3 Dif= 214 cents Dif= 249.46 Hz Partial nr.: 30 real partial note: 97.15 Platonic Harmonic: 94.88 Dif= 227 cents Dif= 275.05 Hz Partial nr.: 31 real partial note: 97.86 Platonic Harmonic: 95.45 Dif= 241 cents Dif= 302.23 Hz Partial nr.: 32 real partial note: 98.54 Platonic Harmonic: 96 Dif= 254 cents Dif= 331.03 Hz Partial nr.: 33 real partial note: 99.21 Platonic Harmonic: 96.53 Dif= 268 cents Dif= 361.48 Hz Partial nr.: 34 real partial note: 99.87 Platonic Harmonic: 97.05 Dif= 282 cents Dif= 393.62 Hz Partial nr.: 35 real partial note: 100.52 Platonic Harmonic: 97.55 Dif= 296 cents Dif= 427.47 Hz Partial nr.: 36 real partial note: 101.15 Platonic Harmonic: 98.04 Dif= 311 cents Dif= 463.07 Hz Partial nr.: 37 real partial note: 101.77 Platonic Harmonic: 98.51 Dif= 325 cents Dif= 500.43 Hz Partial nr.: 38 real partial note: 102.38 Platonic Harmonic: 98.98 Dif= 340 cents Dif= 539.59 Hz Partial nr.: 39 real partial note: 102.97 Platonic Harmonic: 99.42 Dif= 355 cents Dif= 580.57 Hz Partial nr.: 40 real partial note: 103.56 Platonic Harmonic: 99.86 Dif= 370 cents Dif= 623.4 Hz Partial nr.: 41 real partial note: 104.14 Platonic Harmonic: 100.29 Dif= 385 cents Dif= 668.09 Hz Partial nr.: 42 real partial note: 104.71 Platonic Harmonic: 100.71 Dif= 400 cents Dif= 714.67 Hz Partial nr.: 43 real partial note: 105.27 Platonic Harmonic: 101.12 Dif= 416 cents Dif= 763.17 Hz Partial nr.: 44 real partial note: 105.82 Platonic Harmonic: 101.51 Dif= 431 cents Dif= 813.59 Hz Partial nr.: 45 real partial note: 106.37 Platonic Harmonic: 101.9 Dif= 446 cents Dif= 865.97 Hz Partial nr.: 46 real partial note: 106.9 Platonic Harmonic: 102.28 Dif= 462 cents Dif= 920.31 Hz Partial nr.: 47 real partial note: 107.43 Platonic Harmonic: 102.66 Dif= 478 cents Dif= 976.64 Hz Partial nr.: 48 real partial note: 107.95 Platonic Harmonic: 103.02 Dif= 493 cents Dif= 1034.98 Hz Partial nr.: 49 real partial note: 108.47 Platonic Harmonic: 103.38 Dif= 509 cents Dif= 1095.33 Hz Partial nr.: 50 real partial note: 108.97 Platonic Harmonic: 103.73 Dif= 525 cents Dif= 1157.71 Hz Partial nr.: 51 real partial note: 109.47 Platonic Harmonic: 104.07 Dif= 540 cents Dif= 1222.15 Hz Partial nr.: 52 real partial note: 109.97 Platonic Harmonic: 104.41 Dif= 556 cents Dif= 1288.65 Hz Partial nr.: 53 real partial note: 110.46 Platonic Harmonic: 104.74 Dif= 572 cents Dif= 1357.23 Hz Partial nr.: 54 real partial note: 110.94 Platonic Harmonic: 105.06 Dif= 588 cents Dif= 1427.89 Hz Partial nr.: 55 real partial note: 111.41 Platonic Harmonic: 105.38 Dif= 604 cents Dif= 1500.66 Hz Partial nr.: 56 real partial note: 111.88 Platonic Harmonic: 105.69 Dif= 619 cents Dif= 1575.54 Hz Partial nr.: 57 real partial note: 112.35 Platonic Harmonic: 105.99 Dif= 635 cents Dif= 1652.55 Hz Partial nr.: 58 real partial note: 112.81 Platonic Harmonic: 106.3 Dif= 651 cents Dif= 1731.69 Hz Partial nr.: 59 real partial note: 113.26 Platonic Harmonic: 106.59 Dif= 667 cents Dif= 1812.98 Hz Partial nr.: 60 real partial note: 113.71 Platonic Harmonic: 106.88 Dif= 683 cents Dif= 1896.42 Hz Partial nr.: 61 real partial note: 114.15 Platonic Harmonic: 107.17 Dif= 698 cents Dif= 1982.03 Hz Partial nr.: 62 real partial note: 114.59 Platonic Harmonic: 107.45 Dif= 714 cents Dif= 2069.81 Hz Partial nr.: 63 real partial note: 115.02 Platonic Harmonic: 107.73 Dif= 730 cents Dif= 2159.77 Hz Partial nr.: 64 real partial note: 115.45 Platonic Harmonic: 108 Dif= 745 cents Dif= 2251.92 Hz Partial nr.: 65 real partial note: 115.88 Platonic Harmonic: 108.27 Dif= 761 cents Dif= 2346.27 Hz Partial nr.: 66 real partial note: 116.3 Platonic Harmonic: 108.53 Dif= 776 cents Dif= 2442.83 Hz Partial nr.: 67 real partial note: 116.71 Platonic Harmonic: 108.79 Dif= 792 cents Dif= 2541.6 Hz Partial nr.: 68 real partial note: 117.12 Platonic Harmonic: 109.05 Dif= 807 cents Dif= 2642.59 Hz Partial nr.: 69 real partial note: 117.53 Platonic Harmonic: 109.3 Dif= 823 cents Dif= 2745.8 Hz Partial nr.: 70 real partial note: 117.93 Platonic Harmonic: 109.55 Dif= 838 cents Dif= 2851.25 Hz Partial nr.: 71 real partial note: 118.33 Platonic Harmonic: 109.8 Dif= 853 cents Dif= 2958.94 Hz Partial nr.: 72 real partial note: 118.73 Platonic Harmonic: 110.04 Dif= 869 cents Dif= 3068.86 Hz Partial nr.: 73 real partial note: 119.12 Platonic Harmonic: 110.28 Dif= 884 cents Dif= 3181.04 Hz Partial nr.: 74 real partial note: 119.5 Platonic Harmonic: 110.51 Dif= 899 cents Dif= 3295.47 Hz Partial nr.: 75 real partial note: 119.89 Platonic Harmonic: 110.75 Dif= 914 cents Dif= 3412.17 Hz Partial nr.: 76 real partial note: 120.27 Platonic Harmonic: 110.98 Dif= 929 cents Dif= 3531.12 Hz
De spektraaltonen zijn allemaal een beetje tot een heel stuk groter dan het platonische model zou laten uitschijnen. Bij de veertiende boventoon, beloopt het verschil al meer dan een kwarttoon. De negentiende bovendien, zit al een halve toon 'fout'. Bij de 61-ste bovendien beloopt het verschil al een kwint... De waarneembaarheid van deze wel erg hoge boventonen is evenwel betwijfelbaar. Immers de amplitude van de spektraalkomponenten neemt af volgens een voor elke spektraaltoon eigen omhullende, globaal echter evenredig met hun rangorde. Praktisch gesproken kunnen we voor vrij klinkende snaren alle spektraalkomponenten met een rangnummer groter dan 20 buiten beschouwing laten, wegens beneden de gehoordrempel. (Memo: voor aangeslagen snaren vormen de amplitudes van de boventonen een reeks van de vorm 1, 1/2, 1/3, 1/3, 1/4.... 1/n. Voor getokkelde snaren heeft de reeks de vorm: 1, 1/2^2, 1/3^2, 1/4^2, 1/5^2... 1/n^2. cfr: 4040.html).
Een goede verstaander zal het intussen als doorhebben: Indien we een stemming zouden willen steunen op de werkelijke boventonen van werkelijke snaren dan zal dat onmogelijk blijken omdat elke snaar nu eenmaal een ander spektrum zal hebben. Zelfs een stemming berekend voor een instrument met 1 enkele snaar en fretten voor de verschillende toonhoogtes kan niet toonsysteem-konsistent gebouwd en berekend worden. Sterker nog, gesteld dat we het waanzinnige idee in ons hoofd zouden halen om verschillende instrumenten, snaarinstrumenten enerzijds en instrumenten gesteund op trillende luchtkolommen anderzijds, samen te laten spelen, dan worden we onherroepelijk gekonfronteerd met het akoestische feit dat voor trillende luchtkolommen evenzeer geldt wat we stelden in verband met de inharmoniciteit van snaren, maar dan... in omgekeerde richting: de spektraalkomponenten blijken hier systematisch een beetje te klein te zijn. Zelfs een gewoon unisono wordt onmogelijk...
Maar, we kunnen deze verschikkelijke ellende ook in ons voordeel laten uitdraaien: precies omdat de spektra van reeele instrumenten niet alleen inharmonisch zijn, maar bovendien volkomen inkongruent, zijn wij audioperceptorisch in staat de diverse geluidsbronnen in het bonte mengsel dat een orkest wordt genoemd, te onderscheiden. Het is precies in en dankzij de anarchie van de klinkende werkelijkheid, dat de individuele stem hoorbaar kan worden.
Een verdere konsekwentie van de wetenschappelijke akoestiek is dat alle 'juiste boventoons' stemmingen in hun grondvesten naar het rijk der fabeltjes worden verwezen. Gelijkzwevende stemmingen -het aantal verdelingen per oktaaf doet er hier verder niet toe- vormen een heel goed kompromis wanneer we snaren en windinstrumenten samen willen laten spelen.
Wanneer we evenwel grotendeels aan beide verzaken, en bijvoorbeeld orkesten
samenstellen met hoofdzakelijk twee- en drie-dimensioneel trillende voorwerpen
(gongs, potgongs, bellen, platen, staven...) dan komen we inzake toonsystemen
en stemmingen alweer in een geheel andere wereld terecht. De javaanse en balinese
gamelan-kultuur heeft inderdaad een toonsysteem tot ontwikkeling gebracht, dat
voor een groot stuk kan worden verklaard op grond van het gebruikte instrumentarium.
Vergeten we immers niet dat de spektra van trillende platen en membranen in
verste verte geen kwinten en oktaven bevatten! Gamelan orkesten worden gestemd
en geintoneerd op grond van de boventonen van hun grootste gongs. Elk gamelan
orkest heeft dan ook een eigen intonatie en de instrumenten van de ene gamelan
zijn niet zonder meer uitwisselbaar voor die van een ander.
Voor wie na het na het bovenstaande nog niet zou beginnen te dagen, hebben we ook een berekening gemaakt voor het spektrum van een lage omwikkelde snaar in een kleine vleugel of buffetpiano.
Basisfrekwentie:= 65.4064 Hz = Fractional note: 36 Berekend voor een snaarfaktor B= 5.694346E-3, overeenkomend met volgende realistische snaareigenschappen:
Partial nr.: 1 real partial note: 36.00 Plato-Harmonic: 36 Dif= 0 cent Dif= 0 Hz Partial nr.: 2 real partial note: 48.19 Plato-Harmonic: 48 Dif= 19 cent Dif= 1.48 Hz Partial nr.: 3 real partial note: 55.45 Plato-Harmonic: 55.02 Dif= 43 cent Dif= 4.97 Hz Partial nr.: 4 real partial note: 60.75 Plato-Harmonic: 60 Dif= 75 cent Dif= 11.66 Hz Partial nr.: 5 real partial note: 65.02 Plato-Harmonic: 63.86 Dif= 115 cent Dif= 22.5 Hz Partial nr.: 6 real partial note: 68.63 Plato-Harmonic: 67.02 Dif= 161 cent Dif= 38.35 Hz Partial nr.: 7 real partial note: 71.82 Plato-Harmonic: 69.69 Dif= 213 cent Dif= 59.95 Hz Partial nr.: 8 real partial note: 74.69 Plato-Harmonic: 72 Dif= 269 cent Dif= 87.95 Hz Partial nr.: 9 real partial note: 77.32 Plato-Harmonic: 74.04 Dif= 328 cent Dif= 122.92 Hz Partial nr.: 10 real partial note: 79.76 Plato-Harmonic: 75.86 Dif= 390 cent Dif= 165.33 Hz Partial nr.: 11 real partial note: 82.05 Plato-Harmonic: 77.51 Dif= 454 cent Dif= 215.57 Hz Partial nr.: 12 real partial note: 84.2 Plato-Harmonic: 79.02 Dif= 518 cent Dif= 273.98 Hz Partial nr.: 13 real partial note: 86.24 Plato-Harmonic: 80.41 Dif= 584 cent Dif= 340.83 Hz Partial nr.: 14 real partial note: 88.18 Plato-Harmonic: 81.69 Dif= 649 cent Dif= 416.35 Hz Partial nr.: 15 real partial note: 90.02 Plato-Harmonic: 82.88 Dif= 714 cent Dif= 500.73 Hz Partial nr.: 16 real partial note: 91.78 Plato-Harmonic: 84 Dif= 778 cent Dif= 594.12 Hz Partial nr.: 17 real partial note: 93.47 Plato-Harmonic: 85.05 Dif= 842 cent Dif= 696.67 Hz Partial nr.: 18 real partial note: 95.09 Plato-Harmonic: 86.04 Dif= 905 cent Dif= 808.47 Hz Partial nr.: 19 real partial note: 96.64 Plato-Harmonic: 86.98 Dif= 967 cent Dif= 929.61 Hz Partial nr.: 20 real partial note: 98.14 Plato-Harmonic: 87.86 Dif= 1028 cent Dif= 1060.18 Hz Partial nr.: 21 real partial note: 99.58 Plato-Harmonic: 88.71 Dif= 1087 cent Dif= 1200.22 Hz Partial nr.: 22 real partial note: 100.97 Plato-Harmonic: 89.51 Dif= 1146 cent Dif= 1349.81 Hz Partial nr.: 23 real partial note: 102.31 Plato-Harmonic: 90.28 Dif= 1203 cent Dif= 1508.97 Hz Partial nr.: 24 real partial note: 103.61 Plato-Harmonic: 91.02 Dif= 1259 cent Dif= 1677.76 Hz Partial nr.: 25 real partial note: 104.86 Plato-Harmonic: 91.73 Dif= 1313 cent Dif= 1856.19 Hz Partial nr.: 26 real partial note: 106.07 Plato-Harmonic: 92.41 Dif= 1367 cent Dif= 2044.3 Hz Partial nr.: 27 real partial note: 107.25 Plato-Harmonic: 93.06 Dif= 1419 cent Dif= 2242.12 Hz Partial nr.: 28 real partial note: 108.39 Plato-Harmonic: 93.69 Dif= 1470 cent Dif= 2449.65 Hz Partial nr.: 29 real partial note: 109.5 Plato-Harmonic: 94.3 Dif= 1520 cent Dif= 2666.92 Hz Partial nr.: 30 real partial note: 110.57 Plato-Harmonic: 94.88 Dif= 1569 cent Dif= 2893.95 Hz Partial nr.: 31 real partial note: 111.62 Plato-Harmonic: 95.45 Dif= 1617 cent Dif= 3130.74 Hz Partial nr.: 32 real partial note: 112.63 Plato-Harmonic: 96 Dif= 1663 cent Dif= 3377.31 Hz Partial nr.: 33 real partial note: 113.62 Plato-Harmonic: 96.53 Dif= 1709 cent Dif= 3633.67 Hz Partial nr.: 34 real partial note: 114.59 Plato-Harmonic: 97.05 Dif= 1754 cent Dif= 3899.83 Hz Partial nr.: 35 real partial note: 115.52 Plato-Harmonic: 97.55 Dif= 1797 cent Dif= 4175.79 Hz Partial nr.: 36 real partial note: 116.44 Plato-Harmonic: 98.04 Dif= 1840 cent Dif= 4461.56 Hz Partial nr.: 37 real partial note: 117.33 Plato-Harmonic: 98.51 Dif= 1882 cent Dif= 4757.14 Hz Partial nr.: 38 real partial note: 118.21 Plato-Harmonic: 98.98 Dif= 1923 cent Dif= 5062.55 Hz Partial nr.: 39 real partial note: 119.06 Plato-Harmonic: 99.42 Dif= 1963 cent Dif= 5377.78 Hz Partial nr.: 40 real partial note: 119.89 Plato-Harmonic: 99.86 Dif= 2003 cent Dif= 5702.84 Hz Partial nr.: 41 real partial note: 120.7 Plato-Harmonic: 100.29 Dif= 2041 cent Dif= 6037.74 Hz
De resultaten mogen in dit geval zeker spektakulair worden genoemd. Zelfs de eerste boventoon, het oktaaf vertoont nu reeds twee zwevingen. Dit verschijnsel ligt trouwens aan de basis het het door alle goede pianostemmers toegepaste 'ecartement': de vergroting van de oktaven in de lage bassen en bij de extreme hoogten.
De wetenschappelijke eerlijkheid en ernst verplicht er ons, naar aanleiding van bovenstaande berekening, toch volgende opmerkingen te maken:
tabellen met de afwijkingen tegenover de 'juiste boventoonsstemming' van alle gelijkzwevende stemmingen opgebouwd uit 7 tot 53 intervallen per oktaaf:
Filedate: 2001-02-15 /2007-03-26
| Terug naar inhoudstafel kursus: <Index Kursus> | Naar homepage dr.Godfried-Willem RAES | bibliografie en verdere lektuur m.b.t. akoestiek | Naar opzoektabel noot-> frekwentie |