Prof.dr.Godfried-Willem RAES

Kursus Akoestiek

Hogeschool Gent : School of Arts

4410

Ruis en onzekerheid

Ruis is een van de fundamentele eigenschappen van de natuur. In de thermodynamika vindt het verschijnsel zijn oorsprong in the Brownse beweging: de thermische agitatie van de moleculen waaruit een stof is opgebouwd. Bij de (teoretische) temperatuur van nul graden Kelvin houdt de Brownse beweging op en is er dus geen ruis meer. De grootte van de ruisenergie is dan ook een funktie van de absolute temperatuur.

Ruis is ook een veel gehanteerd begrip in de kommunikatie wetenschap, waar het de antipode is van wat men een 'signaal' noemt. De verhouding ruis tot signaal bepaalt de kwaliteit van een informatie overdracht systeem. Voor de meting van deze verhouding wordt de decibell gebruikt:

SNR = 10 log (Vs^2/ Vn^2)

• Vs = signaal amplitude (rms waarde)
• Vn = ruisamplitude (rms waarde)
• SNR = signaal ruisverhouding in dB

De bandbreedte en de centrale frekwentie moeten bepaald zijn.

In elk gebied van de wetenschap en de technologie wordt de ultieme grens van het meetbare gedetermineerd door de ruis. Signalen die kleiner zijn dan het ruisniveau zijn slechts middels toepassing van speciale rekenkundige technieken (korrelaties) detekteerbaar. In real-time is een signaal niet meer detekteerbaar wanneer het even klein wordt dan het ruisniveau. Ruis tast altijd de precisie van een meting aan. De ruis vindt zijn oorsprong enerzijds in het te meten verschijnsel zelf, maar anderzijds ook in de gebruikte meetopstelling en de daarin opgenomen apparatuur.

- ook elk akoestisch instrument produceert naast de 'gewenste' toon, een hoeveelheid ruis. Elke periodieke trilling is onderhevig aan fluktuaties (ruis dus) en wordt ook geboren uit ruis. De tijd die nodig is om het geluid tot stand te laten komen is karakteristiek voor elk instrument en voor elke wijze van trillingsopwekking. Noteer dat heel wat muziekinstrumenten eigenlijk in hoofdzaak ruisgeneratoren zijn: maracas, cimbalen, tamtams, windmachines, vibra slap, ratels...

- elke opname van een geluid (een meting eigenlijk) voegt daar onvermijdelijk een hoeveelheid ruis aan toe. Het is uiteraard steeds wenselijk deze extra ruis te minimaliseren.

- elke kopie die we maken van een opname verhoogt de ruis: dit volgt uit de wet van de entropie. De entropie is een funktie van de tijd en tast dus ook de oorspronkelijke opname aan. Zij geldt voor alle 'vormen', de grondslag van wat we informatie noemen. In tegenstelling tot een wijd verbreide misvatting, geldt die ook principieel voor digitale kopieen en originelen. De sterfelijkheid en de vergankelijkheid van al het zijnde volgt onvermijdelijk uit de wet van de entropie. We kunnen de entropie wel vertragen maar niet ontlopen.

Het begrip ruis kan enkele erg verschillende aspekten omvatten, en is daarom in het taalgebruik soms wat verwarrend.

1.- Johnson ruis

Dit is het soort ruis dat gegenereerd wordt door elke weerstand. Dit soort ruis wordt bepaald door de temperatuur en de waarde van de weerstand en kan eenvoudig berekend worden als:

Vn = SQR(4k / TRB)

waarin:

• Vn = de rms waarde van de ruisspanning
• k = de konstante van Bolzmann ( k= 1.380E-23 J/K dus in Joule/Kelvin eenheden)
• T = de temperatuur in graden Kelvin (= graden Celsius + 237.16)
• R = de waarde van de weerstand (in Ohm)
• B = de bandbreedte in Hz

vb: een 10kOhm weerstand bij kamertemperatuur genereert een ruissignaal van 1.3 microvolt gemeten over een bandbreedte van 10kHz.

Johnson ruis wordt gekenmerkt door een vlakke frekwentiekarakteristiek. Het is witte ruis. Dit betekent dat in elke frekwentieband van het spektrum, de gemiddelde amplitude van de ruis gelijk is.

Witte ruis is het equivalent van wat we in software een toevalsgenerator noemen. De funktie RND(1) genereert getallen begrepen in het interval van 0 tot 1 zo dat elke mogelijke waarde eenzelfde waarschijnlijkheid van voorkomen heeft. Wanneer we een golfvorm berekenen met behulp van deze funktie (elk sample stellen we gelijk aan de uitkomst van de RND(1) funktie, vermenigvuldigd met 2^resolutie), verkrijgen we een witte ruis signaal. Analoog opgebouwde ruisgeneratoren vertrekken meestal van in sperrichting aangesloten diode-overgangen (meestal zener-diodes).

In de informatieteorie geldt dat ruis geen informatie bevat, aangezien alle mogelijke toestanden precies even waarschijnlijk zijn. In zuivere ruis ontbreekt alle vorm.

2.- Shot Noise

Wanneer een elektrische stroom door een geleider loopt, kan geschiedt dat ten gevolge van het kwantum karakter van elektrische ladingen met een zekere onregelmatigheid die ook een vorm van ruis vertegenwoordigd. Deze stroomruis kan berekend worden met volgende formule:

In = SQR(2 q.Idc.B) of, anders genoteerd: In = (2.q.Idc.B) ^ 1/2

waarin:

• In = de rms waarde van de stroomruis
• Idc = de gelijkstroom door de geleider of weerstand
• q = de lading van een elektron (1.60E-19 Coulomb)
• B = de bandbreedte in Hz

Ook deze ruis is 'wit'. Het is belangrijk te weten dit dit type ruis relatief afneemt met toenemende stroom.

vb. een stroom van 1A heeft een ruis-fluktuatie van 57nA gemeten over een 10kHz bandbreedte. Dat is 0.000006% van de nominale stroom.

een stroom van 1 microampere daareentegen kent een stroomfluktuatie van 0.006%, of in dB uitgedrukt: -85dB. (bandbreedte 10kHz)

een stroom van 1pA kant een stroomfluktuatie van 56fA, overeenkomend met een 5.6% variatie van de nominale stroom.

Hierin ligt de belangrijkste reden besloten van het toepassen van relatief hoge stromen in gevoelige ingangstrappen van professionele analoge geluidsapparatuur. Stroomruis neemt noe evenredig met de wortel uit de stroom, terwijl het signaal zelf recht evenredig toeneemt met de stroom. Vandaar dat we stelden dat stroomruis relatief afneemt met toenemende stroom.

Zowel Johnson-ruis als Shot-Noise vinden hun oorsprong in fundamentele natuurwetten en zijn inherent niet te reduceren.

3.- 1/f ruis ('Flicker noise')

Elke 'echte' weerstand genereert bovenop de inherente Johnson ruis, nog een hoeveelheid extra ruis die samenhangt met fysische eigenschappen van zijn konstruktie. Zo zal elke praktische weerstand gekenmerkt worden door zekere fluktuaties van zijn weerstandswaarde. Deze fluktuaties zijn dan weer een funktie van de stroom door de weerstand. Dit is logisch en verstaanbaar aangezien een stroom door een weerstand deze zal verwarmen. Draadgewikkelde en metaalfim weerstanden kennen de kleinste fluktuaties, terwijl koollaagweerstanden vrij hoge fluktuaties uitwijzen.

Het spektrum van dit soort ruis is helemaal niet 'wit' maar vertoont een 1/f karakteristiek. Dit wil zeggen dat het vermogen van de ruis over elke dekade van de frekwentie konstant is. Dit noemt men 'roze' ruis (pink noise). Ruis met een dergelijke spektrale distributie blijkt ten grondslag te liggen aan onnoemelijk vele natuurverschijnselen, inklusief aan de werking van de neurale strukturen in onze eigenste hersenen. Maar ook de snelheden van oceanische stromingen, de distributie van aardbevingen en de verkeersdrukte op snelwegen, blijken aan de 1/f distributie wetmatigheden te beantwoorden.

Wanneer we de horizontale as in een logaritmische schaal brengen (wat gebruikelijk is), dan wordt deze kurve weer vlak.

Meer nog, ook muziek in het algemeen blijkt volgens recent (2011) onderzoek, helemaal te berusten op 1/f distributies. Voor wat betreft de toonhoogtedistributies evenals voor de luidheidsverdelingen was dit reeds langer bekend en onderzocht. Nu echter werd aangetoond dat het al evenzeer geldt voor de temporele struktuur van muziek. Een vulgariserende voorstelling van het onderzoek verscheen in De Standaard, 23.03.2012. [PDF bestand].

Om dit soort verschijnselen te bestuderen wordt gebruik gemaakt van histogrammen. [demo in de les].

Demo materiaal: Franz Schubert, Die Forelle. [partituur] [midi-file]

We analyseren de zanglijn en bekomen volgende distributie van de gebruikte metrische waarden:

Klaarblijkelijk geldt dit ook voor heel oude muziek, bvb. het tema 'L'homme arme' dat iedereen die ooit een kursus muziekgeschiedenis heeft gevolgd wel zal kennen:

In dit lied komen slechts drie notenwaarden voor: de kwartnoot (35 keer), dehalve noot (19 keer) en de gepunte halve noot (8 keer). Ook hier krijgen we een bijna perfekte 1/f verdeling te zien...

Voor vollediger analyses op volledige muziekstukken en partituren kunnen we natuurlijk beter komputers gebruiken en krijgen we ook nauwkeuriger resultaten.

4.- Storingsruis

Hier gaat het in strikte zijn eigenlijk niet om ruis, maar wel om signalen die samen met het gewenste signaal optreden en die de meting en waarneming van het signaal kompromiteren. Een typisch voorbeeld wordt gevormd door net-brom en thyristor storing in audioapparatuur. Ook vervorming (waaronder THD vervorming) van het signaal door de meetapparatuur (inklusief versterkers) behoort tot deze kategorie. Storingsruis wordt ook vaak gekarakteriseerd als interferentie. Storing in zover niet 'objektief' dat het afhankelijk is van het kennend subjekt. Wanneer we een storing willen analyseren, moeten we haar immers als 'signaal' beschouwen, ook al is het meestal de bedoeling dat 'signaal' te minimaliseren.

Wanneer twee niet gekorreleerde signalen bij elkaar optellen, dan wordt de amplitudesom gegeven door de wortel uit de som der kwadraten van hun amplitudes. Hieruit volgt dan wanneer we twee evengrote ruissignalen bij elkaar optellen, de amplitude van de som slechts met een faktor SQR(2) zal zijn toegenomen. Tellen we twee gekorreleerde gelijke signalen bij elkaar op, dan is hun som gelijk aan de som van de amplitudes. Uit dit verschil in de wijze waarop dergelijke signalen bij elkaar opgeteld moeten worden vloeien tal van praktische toepassingen voort: het parallel schakelen van versterkertrappen wordt gebruikt voor de verbetering van de S/N ratio. Maar ook het rekonstrueren van heel kleine signalen bedolven onder ruis wordt erdoor mogelijk gemaakt. Het herhaaldelijk optellen van dergelijke signalen kan uiteindelijk het verborgen signaal tevoorschijn toveren.

Bronnen:

Horowitz-Hill, The Art of Electronics

Daniel Levitin, "Ons muzikale brein, wat muziek met ons doet', (2013)