Dr.Godfried-Willem RAES

Kursus Experimentele Muziek: Boekdeel 1: Algoritmische kompositie

Hogeschool Gent : Departement Muziek & Drama

1087:

'Wohltemperiert' - 'well tempered'

Parentesis

Tot de gelijkzwevende stemming in de west europese muziek algemeen ingang vond, kende onze muziekkultuur een veelheid aan verschillende stemmmingen en toonsystemen. In de tijd van J.S.Bach vond de term 'wohltemperiert' ingang. De term verwijst niet -voorzover men heeft kunnen nagaan- naar een welgedefinieerd stemmmingssysteem, maar wel naar een principe dat toen ingang vond en dat erop neerkomt dat men de problemen van elke juiste boventoonsstemming vanzodra men gaat moduleren, poogt te ondervangen door de fout van de komma, te verspreiden over een aantal intervallen.

Een gangbaar systeem (maar er zijn er teveel om op te noemen of hier te behandelen) om dit te doen gaat alsvolgt:

[berekening overgenomen uit: Philippe Guillaume, Music and Acoustics, ISTE, London 2006]

Uitgaand van de centrale Do, gaan we door een cyclus van 4 identieke kwinten: do-sol-re-la-mi die we elk zo stemmen dat ze een beetje te laag staan en wel zodanig dat het aantal zwevingen van do-sol gelijk is aan dat van de terts do-mi, die dan een zweving te hoog gestemd moet worden.

Noemen we x de gebruikte verhouding voor de kwint, en f de frekwentie voor onze do dan kunnen we stellen:

zweving van de terts do-mi: b1= |(5-4x^2/4)| * f = ((x^4) -5)* f

zweving van de kwint do-sol: b2 = |(3-(2*x)| * f = (3-(2*x)) *f

als nu b1 = b2 volgens onze konditie (zelfde zweving voor terts en kwint) dan moeten we hebben:

(x^4) + (2*x) - 8 = 0

een tweede-graads vergelijking met als oplossing x = 1.496

De kwint si- fa# wordt nu volgens deze verhouding gestemd en alle overige kwinten juist in de 3:2 verhouding. De oktaven worden zwevingsvrij gestemd, wat mogelijk is omdat:

(x^5) * (3/2)^7 = 128.006, dus kwazi 128.

Het resultaat is een stemming waarin alle grote tertsen iets verschillend zijn en telkens in geringe mate afwijken van de juiste boventoonsterts. Naarmate we van do-groot gaan wegmoduleren of transponeren, veranderen onze tertsen dus weg van het boventoonsideaal.

Het muzikaal estetisch gevolg is dat elke modulatie in een andere toonaard een eigen inkleuring krijgt, terwijl toch geen enkele toonaard onbeluisterbaar dissonant zal klinken. Dat was wellicht wat Bach wilde aantonen en bereiken in zijn 'Das Wohltemperirte Clavier'

tabellen met de afwijkingen tegenover de 'juiste boventoonsstemming' van alle gelijkzwevende stemmingen opgebouwd uit 7 tot 53 intervallen per oktaaf:

• Gelijkzwevende oktaaf verdelingen : evaluatie van hun platonische juistheid
• Gelijkzwevende duodeciem verdelingen : evaluatie van hun platonische juistheid

Filedate: 2001-02-15 /2007-03-25