Dr.Godfried-Willem RAES

Kursus Experimentele Muziek: Boekdeel 4: Akoestiek

AUGENT - Hogeschool Gent : Departement Muziek


<Terug naar inhoudstafel kursus>    

4051:

Staven, buizen en... rieten.

Toegepast in instrumenten zoals: xylofoon, marimba, celesta, glockenspiel, tubular bells..., maar eveneens de grondslag van de toonopwekking in enkel- en dubbelrietinstrumenten, in tongwerken van orgels en in akkordeons, mondharmonikas, bandoneons en harmoniums met doorslaande tongen.

Hoewel op het eerste gezicht een op twee punten gesteunde staaf zich zo'n beetje lijkt te gedragen als een snaar, maken enkele fundamentele verschillen dat niets van de snaarteorie op staven van toepassing blijkt te zijn. Immers bij snaren wordt de spanning in hoofdzaak extern aangebracht terwijl bij staven de kracht die voor het terugkeren uit een toestand van onevenwicht zorgt, volledig inwendig is aan het materiaal zelf waaruit de staaf is vervaardigd.

 

De trillingswijze van staven hangt af van de wijzen waarop ze al dan niet worden ingeklemd. We onderscheiden daarbij volgende gevallen:

vrije staaf

De boventoonreeks voor verschillende trillingsmodi ziet eruit als:

Modus 1 2 3 4 5
frekwentie (genormaliseerd) 1.00 2.756 5.404 8.933 13.34

Deze trilwijze vinden we o.m. toegepast in claves, twee zo identiek mogelijke staven uit hardhout die tegen elkaar worden geslagen.

Wie die boventoonreeks graag op een meer 'muzikaal' leesbare wijze wil zien, geven we deze reeks hier, voor een grondtoon van 110Hz (La):

Merk op dat niet de kwint, maar een eerder onreine kwart, hier de meest dominante boventoon vormt. In de 'klassieke' muziek worden deze instrumenten nooit als toonhoogtehebbend gebruikt. Hun klankkleur versmelt niet met een konservatieve (op drieklankharmonie gesteunde) instrumentale schriftuur.


vrije staaf, opgelegd op nodale punten

hierbij wordt de grondtoon sterk naar voor gebracht, voor het overige trillen ze zoals in het geval hierboven. Praktische toepassingen in muziekinstrumenten vinden we in marimbas, xylofonen, vibrafoon, glockenspiel, tubular bells, celesta (deze laatste twee, opgehangen op een nodaal punt).

 

Een praktische formule waarmee de frekwentie van de grondtoon van een vrije opgelegde staaf kan worden berekend vinden we bij Olson, p.77:

f = (1.133 Pi / (len^2)) SQR(Q (K^2)/ rho)

waarin:

De waarde van K hangt af van de vorm van de staaf en is voor een staaf met een rechthoekige doorsnede:

K = a / SQR(12)

waarbij a = dikte van de staaf in de richting waarin ze wordt aangeslagen.

Dit geldt voor xylofoonstaven, metalofoons, vibrafoons, marimbas, tenminste voorzover we de centrale uitholling van die staven buiten beschouwing laten. De funktie van die uitholling bestaat er niet alleen in de grondtoon te verlagen, maar ook en vooral om het geproduceerde spektrum 'harmonischer' te laten klinken. Bij xylofoons poogt men steeds de eerste harmonische zoveel mogelijk af te stemmen op 3 maal de grondtoon (een kwint dus). Bij marimbas daareentegen, stemt men de eerste harmonische op die wijze af op 4 maal de grondtoon (het dubbeloktaaf dus). De resonatoren (aan een kant gesloten buizen) worden afgestemd op de grondtoon.

Voor een staaf met ronde doorsnede is het:

K = a/ 2

waarbij a = straal van de staaf in cm.

De celesta maakt gebruik van dergelijke massieve staven, meestal in brons of ijzer.

Voor holle pijpen (buizen) wordt het:

K = (SQR( (a1^2) + (a2^2)))/2

waarin:

Het verschil tussen beide komt uiteraard met de wanddikte overeen.

Dit geldt voor buisklokken, tubofoons, windchimes etc.

Het berekenen en bouwen van een tubofoon, waarvoor dikwandige aluminiumbuizen worden gebruikt is helemaal niet moeilijk. We hebben zelf verschillende dergelijke instrumenten gebouwd. Daarbij bleek de berekende waarde steeds wat af te wijken van de op grond van de Olson formules berekende waarde.

Daarom bestaat de beste praktische werkwijze erin te vertrekken van een enkele buis, die zorgvuldig en zo precies mogelijk te stemmen op een van de gewenste toonhoogtes. Let op: je kan alleen stukjes afzagen of vijlen, waardoor de toon stijgt. Verlagen kan niet. Een te kort geworden buis kan je natuurlijk wel nog voor de eerstvolgende hogere toon gebruiken. Eens je die klus hebt geklaard kan je de materiaalkonstanten uit de formule isoleren:

Matkons = (len ^ 2) * f

waarbij len = lengte van de buis in cm (meet die wel met een nauwkeurigheid van minstens een tiende van een millimeter)

f = de frekwentie van de voortgebrachte toon.

Uitgaand van deze gegevens kunnen we nu eenvoudig de lengtes van de eerste halve toon erboven en eronder berekenen met de vereenvoudigde formule:

len = SQR(matkons / freq)

We geven hier het resultaat van onze proefneming met 12 kromatisch gestemde buizen, diapason 442Hz, en de berekening (door extrapollatie) over heel wat meer noten. Praktisch merken we hierbij op dat de hier gebruikte buizen voor toonhoogtes lager dan midi noot 48, niet meer goed klinken. De hoge harmonischen gaan dan teveel doorwegen in het spektrum. Voor lage noten moeten dan ook buizen met oplopend grotere diameters worden gebruikt. Mensurering noemt men dat in de instrumentenbouw.

Het zal niemand verbazen dat we dit soort tabellen niet graag met de hand uitrekenen. In een handomdraai kan inderdaad een komputer programma'tje geschreven worden dat eindeloos vele dergelijke tabellen in een flits afwerkt. Bij wijze van illustratie hierbij de bronkode van het programma'tje dat we schreven voor onze proefnemingen met, en berekeningen van dergelijke tubofoons. Wie over dit soort programmeren meer wil weten verwijzen we naar boekdeel 1 van mijn kursus in de algoritmische kompositie. Het programma dat loopt onder alle Windows versies maakt gebruik van de uiterst eenvoudige Power Basic console compiler (PBCC 6.00).

DECLARE FUNCTION N2F (BYVAL noot AS INTEGER) AS INTEGER

GLOBAL La AS SINGLE

GLOBAL Gronddo AS SINGLE

GLOBAL Pi AS DOUBLE

TYPE TubophoneType

END TYPE

DECLARE FUNCTION F2NF (BYVAL f!) AS SINGLE

 

FUNCTION PBMAIN

LOCAL i AS DWORD

LOCAL f AS SINGLE

LOCAL midinoot AS DWORD

LOCAL buitendiam AS SINGLE

LOCAL binnendiam AS SINGLE

LOCAL lengte AS SINGLE

LOCAL fref AS SINGLE

LOCAL K AS SINGLE

LOCAL l AS SINGLE

LOCAL matkons AS DOUBLE

DIM Tubes(0 TO 127) AS GLOBAL TubophoneType

CONSOLE SCREEN 34,80

CONSOLE NAME "Tubophone calculation"

La = 442.00

GrondDo = La * (2!^(3!/12!))/64!

Pi = 3.141592654#

buitendiam = 3.00 'in cm

binnendiam = 2.40 'in cm ' holle buis met ronde doorsnede:

K = SQR((buitendiam^2) + (binnendiam^2)) / 2! ' gyratie straal 'Q = Youngs modulus in dyne/cm2 ' r = densiteit in g/cm3

' gegevens eerste meetstaaf:

l = 32.25

midinoot = 91 '( sol)

fref = N2F(91)

matkons = (l^2) * fref

' opgemeten waarden: (20.12.2002)

Tubes(84).l_eff = 398.2

Tubes(85).l_eff = 387.5

Tubes(86).l_eff = 375.0

Tubes(87).l_eff = 363.5

Tubes(88).l_eff = 353.0

Tubes(89).l_eff = 343.1

Tubes(90).l_eff = 333.0

Tubes(91).l_eff = 322.5

Tubes(92).l_eff = 312.2

Tubes(93).l_eff = 304.0

Tubes(94).l_eff = 294.5

Tubes(95).l_eff = 286.0

Tubes(96).l_eff = 277.5

' berekening gemiddelde waarde materiaalkonstante:

matkons = 0!

FOR i = 84 TO 96

matkons = matkons + ((Tubes(i).l_eff / 10!)^2) * N2F(i)

NEXT i

matkons = matkons / 13

OPEN "tubophone.txt" FOR OUTPUT AS #1

PRINT #1, "Berekening dimensionering tubofoon"

PRINT #1, "Diapason : "; La; "Hz"

PRINT #1, "Materiaal: aluminium buis 30/24mm"

PRINT #1, PRINT #1, "note = midi note number"

PRINT #1, "f = frequency of the fundamental"

PRINT #1, "l_cal = calculated length of the tube"

PRINT #1, "l_eff = empiric exact length of the tube"

PRINT #1, "error = difference between l_cal and l_eff"

FOR i = 36 TO 127

Tubes(i).noot = i

Tubes(i).freq = N2F(i)

l = SQR(matkons / Tubes(i).freq)

Tubes(i).l_cal = l * 10

IF Tubes(i).l_eff THEN

Tubes(i).fout = Tubes(i).l_eff - Tubes(i).l_cal Tubes(i).node = Tubes(i).l_eff * 0.2242

ELSE

Tubes(i).node = Tubes(i).l_cal * 0.2242

END IF

PRINT "noot= ";i,"f = ";Tubes(i).freq, "lengte= "; l * 10; "mm","node at:";l* 10 * 0.2242;"mm"

IF Tubes(i).l_eff THEN

PRINT #1, "note=";i; " f = ";Tubes(i).freq, "l_cal= "; Tubes(i).l_cal; " l_eff=";Tubes(i).l_eff;" error:";Tubes(i).fout ,"node at:";Tubes(i).node * 0.2242;"mm"

ELSE

PRINT #1, "note=";i; " f = ";Tubes(i).freq, "l_cal= "; Tubes(i).l_cal; " node at:";Tubes(i).node * 0.2242;"mm"

END IF

NEXT i

CLOSE #1

WAITKEY$

END FUNCTION

FUNCTION N2F (BYVAL noot AS INTEGER) EXPORT AS INTEGER

FUNCTION = INT(GrondDo * (2 ^ (noot / 12!)))

END FUNCTION

 


staaf ingeklemd aan een uiteinde

Merk op dat de eerste boventoon meer dan 6 maal de frekwentie heeft van de grondtoon! Instrumenten waarbij trillingsbronnen volgens dit model worden toegepast zijn o.m. de rietinstrumenten (zowel enkelrieten als dubbelrieten) , de akkordeon, melodika, harmonium, mondharmonika (allen instrumenten met zgn. doorslaande tongen), speelgoedpiano, nagelviool, waterphone, 'gongs' uit staande klokken, muziekdozen met toonkammen...

Een formule voor de berekening van de grondtoon van dergelijke staven vinden we bij Olson, p.76:

f = (0.5596 / (l^2) ) SQR( ( Q (K^2)) / rho)

Voor Q, K en rho gelden dezelfde eenheden en regels zoals hiervoor behandeld bij vrij klinkende staven.

De nodale punten voor de boventonen liggen, in verhouding tot de lengte van de staaf, op volgende plaatsen:

Een nagelviool (instrument uit het laatste kwart van de achtiende eeuw) ziet eruit als:

Dit 18e eeuws exemplaar komt uit het Haendel-Haus in Halle (Duitsland).

De rieten van klarinetten (enkelriet) en hobos (dubbelriet) werken ook volgens dit principe, maar worden in hun trillingsvrijheid gehinderd doordat de trilling door kontakt (met de baan van het mondstuk bij de klarinet, en met het tweede riet bij de hobo) wordt gehinderd. Hierdoor wordt de trilling assymetrisch en ontstaan er heel wat meer (non-harmonische) boventonen dan bij een vrij trillende staaf. De stugge koppeling aan de resonator (in casu, een luchtkolom) bepaald mede de tril-modus van het riet.

Wie zelf instrumenten wil bouwen gesteund op dit type van trillingsbron zal zijn gading vinden op onze webpaginas gewijd aan <Toypi>, een automatische speelgoedpiano, en <Rodo>.


 

staaf ingeklemd in het midden

Trilwijzen zoals voor staven ingeklemd aan een enkel uiteinde, maar met sterke benadrukking van de grondtoon. Wanneer een van de benen van de staaf wordt aangeslagen, gaat het andere been meetrillen. Of de beide benen in elkaars verlengde liggen dan wel of ze worden omgebogen in een U of V vorm, doet voor de trilwijze niet veel terzake. Wel worden de sowieso reeds erg hoog liggende harmonischen door de buiging van de staaf om het middelpunt, nog verder afgezwakt.

Toepassingen: stemvorken, vorkresonator (synergetische konstruktie, waarbij de grondtoon van de vork overeenkomt met de resonantiefrekwentie van de ingesloten luchtkolom), klankskulpturen (Baschet)


 

longitudinaal trillende staven

toepassingen: Baschet instrumenten, ultrasoonbronnen, glasinstrumenten. Longitudinaal trillende staven worden ook gebruikt als meetinstrumenten en referenties voor het opwekken van extreem hoge frekwenties (vanaf zo'n 5000 Hz). Voor dergelijke frekwenties blijkt het immers onmogelijk stemvorken te bouwen. De excitatie kan gebeuren door op een van uiteinden te slaan in de lengterichting van de staaf, maar kan ook elektromagnetisch worden bereikt. In de Baschet-instrumenten wordt de trilling tot stand gebracht door wrijving met natte natte vingers.(Een beetje zoals bij een rommelpot). De staven zijn hier gemaakt uit glas.

Een ieder welbekende verschijningsvorm van longitudinaal trillende staven kennen we, wanneer we met een hamer een nagel in een harde balk of muur drijven: de toonhoogte stijgt naarmate de nagel verder in de muur verdwijnt (en het trillend deel dus ook korter wordt).

De formule voor de berekening van de grondtoon van dergelijke staven ziet eruit als:

f = (1 / (2 len)) SQR(q/rho)

merk op dat ook hier geldt

f = c / lambda = c / (len * 2)

waarbij c = de voortplantingssnelheid van het geluid (of de trilling) in het beschouwde materiaal (uitgedrukt in cm/s) en lambda = golflengte van de trilling in het materiaal (in cm). Q en rho, zoals hiervoor behandeld.

Voor de grondtoon geldt dat de staaf dan trilt als een halve golflengte. Met deze wetenschap in het achterhoofd is het vrij eenvoudig om de voortplantingssnelheid van een trilling door een materiaal te berekenen en te bepalen.

De harmonischen van een longitudinaal trillende staaf benaderen bijzonder dicht het platonische ideaal:

De Baschet instrumenten danken hieraan hun uitermate eterisch, zoniet zelfs wat elektronisch of synthetisch aandoend, geluid.


referenties:

Bibliografische referenties voor het vak akoestiek: biblio-akoestiek.html

Filedate: 2013-12-27

Terug naar inhoudstafel kursus: <Index Kursus> Naar homepage dr.Godfried-Willem RAES